asintotas

La Hiperbola

Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono.

Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas

(0,0)\,

y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

(h,k)\,

{\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1

Ejemplos:

{\frac {(x)^{2}}{25}}-{\frac {(y)^{2}}{9}}=1

{\frac {(y)^{2}}{9}}-{\frac {(x)^{2}}{25}}=1

Si el eje x es positivo, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.

Ecuación de la hipérbola en su forma compleja

Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos

z\,

, en el plano

ReIm\,

; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias

|z-w_{1}|-|z-w_{2}|\,

, a dos puntos fijos llamados focos

w_{1}\,

w_{2}\,

, es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea

2l\,

) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.

La ecuación queda:

|z-w_{1}|-|z-w_{2}|=2l\,

Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

Ecuaciones en coordenadas polares

Dos hipérbolas y sus asíntotas en coordenadas cartesianas.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

r^{2}=a\sec 2\theta \,

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

r^{2}=-a\sec 2\theta \,

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

r^{2}=a\csc 2\theta \,

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

r^{2}=-a\csc 2\theta \,

Hipérbola con origen en el foco derecho:

r(\theta )={\frac {a(\varepsilon ^{2}-1)}{1-\varepsilon \cos \theta }}

Hipérbola con origen en el foco izquierdo:

r(\theta )={\frac {a(\varepsilon ^{2}-1)}{1+\varepsilon \cos \theta }}

Ecuaciones paramétricas

Imagen de sección cónica.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

{\begin{matrix}x=a\sec t+h\\y=b\tan t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x=\pm a\cosh t+h\\y=b\sinh t+k\\\end{matrix}}

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

{\begin{matrix}x=a\tan t+h\\y=b\sec t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x=a\sinh t+h\\y=\pm b\cosh t+k\\\end{matrix}}

En todas las fórmulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor.

Elementos de la hipérbola

Eje mayor o real

El eje mayor es la recta de la hipérbola donde pertenecen los focos y los vértices de la misma. Su valor es 2a y es perpendicular al eje imaginario

Eje menor o imaginario.

El eje menor o imaginario no tiene puntos en común con la hipérbola. Sin embargo, siempre se cumple que las perpendiculares lanzadas por sus extremos cortan con las perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor en 4 puntos que pueden servir para trazar las asíntotas.

Asíntotas

Son las rectas r y r' que pasan por el centro de la hipérbola y verifican que se acercan ramas de la misma tanto más cuanto más nos alejamos del centro de la hipérbola.

Las ecuaciones de las asíntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/a r

Vértices

Los vértices de una hipérbola son los puntos donde ésta corta a sus ejes.

Focos

Son dos puntos,

F_{1}\,y\,F_{2}

, respecto de los cuales permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto,

x

, de dicha hipérbola.

\vert d(F_{1},x)-d(F_{2},x)\vert =cte

Centro

Punto medio de los vértices y de los focos de la hipérbola.

Tangentes

La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.